El análisis funcional es un área de las matemáticas que es el estudio de vectores , espacios vectoriales y sus operaciones. Esencialmente , de acuerdo con Atlas matemático , que es el examen de los espacios vectoriales de dimensión infinita dentro de algún tipo de estructura ( tales como la estructura métrica o anillo ) . Ecuaciones diferenciales y otros conceptos de cálculo de vectores se utilizan extensivamente en el estudio de análisis funcional . Los Hechos

Un espacio vectorial real es un conjunto de elementos que tiene dos operaciones , la adición y la multiplicación escalar. Un espacio métrico es un conjunto con una métrica y el estudio de los espacios métricas se llama topología . El análisis funcional es un nivel avanzado de de análisis matemático y tiene superposiciones con muchos otros tipos de las matemáticas , como las ecuaciones diferenciales, física matemática , análisis numérico , procesamiento de señales complejas y análisis reales , geometría , álgebra , topología operador y probabilidad .

Historia

el análisis funcional término apareció por primera vez en 1922 , en el título de Paul Lévy de Leçons de l' analizar fonctionelle . Desde entonces, el concepto de análisis funcional se ha utilizado para describir espacios de funciones ( en particular, de Banach y espacios de Hilbert ) . Esta idea se deriva en gran parte de la obra de un matemático alemán prolífica con el nombre de David Hilbert , que hizo muchas contribuciones importantes al campo en la primera mitad del siglo XX , según primeros usos conocidos .

Características

En particular , el análisis funcional es a menudo considerado como el estudio de los espacios vectoriales normados completos . Estos espacios vectoriales abarcan más de dos números reales y complejos y se denominan formalmente espacios de Banach . Un espacio de Hilbert (nombrado en honor de David Hilbert ) es un ejemplo de un espacio de Banach y es un espacio cuyo producto interior crea una norma. El análisis funcional se introduce normalmente a través del estudio de los espacios lineales y normado y seguido por los conceptos de espacios de Hilbert y funcionales lineales . Esto es seguido por la noción de espacios de Banach duales , la teoría de Hahn- Banach , operadores lineales acotados ( así como los operadores compactos , operadores duales, y los operadores invertibles ) , y finalmente los muchos aspectos de la teoría espectral.
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Función

el concepto de Banach y espacios de Hilbert son de gran importancia para las matemáticas puras , ya que son fundamentales para la comprensión de la mecánica cuántica y otras áreas de la física. Por otra parte , de acuerdo con el análisis funcional : una introducción , la función más importante del análisis funcional es seguir desarrollando el lenguaje matemático para la comprensión del mundo que nos rodea. Matemáticas del siglo XX se basa casi exclusivamente en el análisis funcional , ya que es el estudio de las "operaciones" y su " espectro ".
Aplicaciones

Análisis funcional tiene muchas aplicaciones . Según Mathematical Atlas , que incluyen modelos de colectores lineales en espacios topológicos , topología general ( tales como espacios vectoriales topológicos ) y espacios métricos (tales como espacios vectoriales normados , funciones de distancia, y los productos internos ) .
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